Lampo di genio

Un fisico stava cercando di dimostrare una sua teoria sociologica secondo la quale, sottoponendo ad un matematico ed un fisico un problema che abbia sia  una soluzione laboriosa e diretta sia una semplice, ma meno evidente, il matematico opterà per la prima, il fisico per la seconda.

Per questo sottopose a  John Von Neumann (la cui capacità di calcolo era leggendaria, così come la sua distrazione), il seguente problema:

"Due treni, sullo stesso binario, si muovono uno verso l'altro, in direzioni opposte, a una velocità rispettiva  di 30 e 50 Km/h. Un uccello parte dalla motrice di uno dei due volando a 120 Km/h, quando i treni distano 100 Km uno dall'altro, fino a incontrare il secondo treno, poi torna indietro alla stessa velocità e continua allo stesso modo finchè i due treni si scontrano. Che distanza percorre l'uccello?"

Von Neumann rispose quasi istantaneamente: "240 Km".
Il collega allora gli disse piuttosto deluso: "Ecco, ci sei arrivato subito e hai scompigliato la mia teoria. Avrei scommesso che tu, essendo un matematico, avresti preso la strada lunga, quella con la somma della serie infinita."
E Von Neumann, imbarazzato: "Ah, lo sapevo che c'era anche una soluzione facile!"

La soluzione è qui

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Soluzione semplice

I treni collidono due ore dopo che l'uccello ha spiccato il volo:
Tt= D0/(V1+V2) = 100/50 dove 50 è la velocità relativa dei due treni.
Per tutto questo tempo l'uccello vola a 120 Km/h, e quindi percorre St=Vb*D0/(V1+V2) = 240 Km.

Soluzione complessa

La soluzione complessa segue il dettaglio del volo dell'uccello e riduce il problema alla somma di una serie geometrica.

Per abbozzare questa soluzione e svolgere i calcoli c'ho messo circa venti minuti. Ma siccome avevo commesso un errore concettuale, poi l'ho cercato per due giorni, senza vederlo, finchè una domanda su  math.stackexchange.com no mi ha messo sulla strada giusta. Lo sapevo che tra me e Von Neumann c'era una certa distanza...

All'inizio i treni sono separati dalla distanza D0  che l'uccello copre in tempoe T0=D0/(Vb+V2) e percorrendo la distanza S0=Vb*T0

Al ritorno, con analoga notazione:

D1 = D0-T0 * (V1+V2) = D0 * (Vb-V1)/(Vb+V2);
T1=D0 * (V1-Vb)/((V1+Vb)*(V2+Vb))=T0 * (Vb-V1)/(Vb+V1)

S1=VB*T1

Al terzo viaggio, ripetendo i calcoli di cui sopra, emerge una ricorrenza:

D2 = D0 * ((V1-Vb)*(V2-Vb))/((V1+Vb)*(V2+Vb))
T2 = T0 * ((V1-Vb)*(V2-Vb))/((V1+Vb)*(V2+Vb))
S2 = S0 * ((V1-Vb)*(V2-Vb))/((V1+Vb)*(V2+Vb)) = Vb*T2

Ricorrenza che vale anche per D3 e D1, T3 e  T1 e S3 e S1

Ponendo

R=(V1-Vb)*(V2-Vb))/((V1+Vb)*(V2+Vb))

La somma che dà il totale del tempo impiegato (o distanza percorsa):

Tt=T0+T1+T2+T3...=(T0+T1)+(T0+T1)*R+(T0+T1)*R^2....

Siccome R< 1 la somma converge a:

Tt=(T0+T1)/(1-R)

St=Vb*Tt

Effettuando il calcolo con la sostituzione di R si ha , come prima:

Tt= D0/(V1+V2) = 100/50 =2 

St=Vb*D0/(V1+V2)= 240